¡Curiosidades!

El código secreto del profesor Moriarty en "Sherlock Holmes: Juego de sombras"

El profesor James Moriarty, el archienemigo de Sherlock Holmes, era un genio de las matemáticas, además del Napoleón del crimen. La primera vez que aparece en la película “Sherlock Holmes: Juego de sombras” lo hace delante de un pizarra repleta de fórmulas matemáticas. El contenido de la pizarra fue diseñado en el verano de 2010 por Alain Goriely y Derk E. Moulton, del Oxford Centre for Collaborative Applied Mathematics. Refleja la matemática conocida en su época (hacia 1890) y al mismo tiempo oculta un código secreto que revela los malvados planes de Moriarty (código que debe descifrar Holmes).

Como Moriarty estaba obsesionado con el teorema del binomio, según la propia obra de Conan Doyle, se decidió ocultar el código secreto en un triángulo de Pascal. Las letras del mensaje se cifran gracias a un libro de horticultura que Moriarty guarda en su oficina. Cada letra se codifica con tres números de dos dígitos (entre 01 y 99) que especifican la página del libro, la línea y el carácter dentro de la línea. Mediante este cifrado el mensaje se convierte en una lista de números. Para cifrar esta lista se utiliza una clave pública y un algoritmo de codificación. La clave pública es un número entero p. Para cada entero p, se obtiene la sucesión de números de Fibonacci tipo p, dada por la fórmula Fp(n) = Fp(n–1) + Fp(n–p–1), con Fp(0) = 1, y Fp(n) = 0, para n < 0. Esta sucesión se puede obtener sumando la diagonal p-ésima del triángulo de Pascal. Para p = 0 la serie Fp(n) corresponde a las potencias de dos (pues la “diagonal” es horizontal) y para p=1 se obtienen los números de Fibonacci convencionales (la figura de arriba ilustra el procedimiento para definir esta “diagonal”). ¿Has entendido el procedimiento? Compruébalo verificando que para p=3 se obtienen los números 1, 2, 3, 4, 5, 7, 10, 14, 19, 26, 36, 50, …

Una vez elegida la clave pública p es posible representar cualquier número entero N de dos dígitos (entre 01 y 99) de forma única como suma de dos números de Fibonacci tipo p, es decir, N = Fp(n) + m, con m<Fp(n–p). ¿Te atreves a demostrarlo?

Para más información y ejemplos: Carnaval de Matemáticas: El código secreto del profesor Moriarty en la película “Sherlock Holmes: Juego de sombras”